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고유값 예제

위의 예에서 우리는 고유 의 고유 한 고유 의 고유 값에서 고유의 고유 벡터의 고유 벡터는 선형 독립적 인 – iigenvalues의 속성을 추론 할 수 있습니다. 다음 예제에서는 고유 값이 구별되지 않을 때 상황이 명확하지 않다는 것을 보여 줍니다. 이 방정식은 A의 특성 방정식이라고 하며 n 뿌리가 있는 λ의 n차 다항식입니다. 이러한 뿌리를 A의 고유 값이라고 합니다. 우리는 단지 n 별개의 뿌리의 경우를 다룰 것입니다, 그들은 반복 될 수 있지만. 각 고유값에 대해 고유 값 방정식이 true인 고유 벡터가 있을 것입니다. 이것은 복잡한 고유 값에 대한 고유 벡터를 찾는 것이 이전 두 예제와 동일하지만 다소 지저분할 것입니다. 그래서, 그렇게 할 수 있습니다. 이전 예제와 마찬가지로 분수를 지우기 위해 변수값을 선택합니다. 작업이 수행되는 방법에 대한 설명은 없습니다 .

또한 이 페이지는 일반적으로 가장 일반적인 경우만 다루며, 전혀 다루지 않는 특별한 경우(예: 고유하지 않은 고유 값)가 있을 수 있습니다. 따라서, 위의 예에서 매트릭스 D와 마주친 상황은 대칭 행렬로 일어날 수 없다: 대칭 행렬은 n 고유값과 존재권이 있고 고유값(직교때문에) n선형 독립적인 고유 벡터가 존재합니다. 별개. 이제 고유 벡터를 찾아 보겠습니다. 이것은 첫 번째 예제와 약간 다를 것입니다. 하나의 eigenvalue가 있으므로 그 일을 해 봅시다. 두 번째 방정식은 첫 번째 방정식의 일정한 배수이기 때문에 이 방정식 시스템은 단일 방정식 -x+(3/2)y=0 또는 이와 동등한 x=1.5y로 줄어듭니다. 이 시스템에는 무한한 솔루션이 있습니다. 예를 들어 y=2를 선택하면 벡터 따라서 고유 값 k=3이 있는 고유 벡터입니다. 일반적으로 고유 값 3이 있는 모든 고유 벡터는 t가 실제 숫자인 형식을 갖습니다. 또한 양식의 벡터가 고유 값 k=-1을 가진 고유 벡터라는 것을 (시스템(A+I)v=0을 해결하여 표시할 수도 있습니다.

마지막 예에서 우리는 가능한 한 “좋은”로 만들고 싶었고, 우리가 할 수있는 경우에 분수를 피해야한다고 결정했다. 때때로, 이 경우와 같이, 우리는 단순히 할 수 없습니다 그래서 우리는 그것을 처리해야합니다. 이 경우 고유 벡터가 될 것입니다, 그래서, 우리는 행렬에 대한 고유 값과 고유 벡터를 찾는 방법에 대해 어떻게 가야합니까? 그럼 첫 번째 통지 (vec vec 0) 다음 (eqref{eq:eq1}) (lambda )의 모든 값에 대해 true가 될 것이므로 (vec eta ne vec 0)라는 가정을 할 것입니다. 그 방법을 벗어난 (eqref{eq:eq1})를 조금 다시 작성해 보겠습니다. ({lambda _{,2}} = 1) : 이전 부분보다 이 부분으로 작업하는 작업이 훨씬 줄어듭니다. 우리는 다음과 같은 시스템을 해결해야합니다. 고유 값과 고유 벡터에 관한 아주 좋은 특성을 가지고 대칭 행렬이라는 행렬의 매우 중요한 클래스가있다.