Loading…

강한 수학적 귀납법 예제

산술 시퀀스에 대한 수학적 유도에 의한 암시적 증거는 1000 년 경 알 카라지가 쓴 알 파크리에 도입되었으며, 파스칼 삼각형의 이항 정리와 특성을 증명하는 데 사용되었습니다. [8] [9] 수학적 유도의 원리는 일반적으로 자연 수의 공리로 명시되어 있습니다. 피노 공리를 참조하십시오. 그러나, 그것은 잘 순서 원칙에서 입증 될 수있다. 실제로, 다음을 가정한다: 말에서, 기본 대/소문자 P(0) 및 유도 단계(즉, 유도 가설 P(k)는 P(k + 1)를 의미함)은 함께 임의의 자연 수 n에 대한 P(n)를 의미한다. 유도의 공리성은 기본 케이스 및 유도 단계에서 P(n)가 임의의 자연 수 n에 대해 보유하는 추론의 유효성을 주장합니다. 그 이름은 그렇지 않으면 제안 할 수 있지만, 수학 유도철학에 사용되는 유도 추론의 형태로 오해해서는 안된다 (또한 유도의 문제 참조). 수학적 유도는 형식 적 증명에 사용되는 추론 규칙입니다. 수학적 유도에 의한 증거는 사실, 공제 추론의 예입니다. [4] 이 방법의 유효성은 수학적 유도의 일반적인 원리에서 확인할 수 있습니다. “Q(m)”로 정의된 문 P(n)에 수학 유도를 사용하면 모든 자연 수 m이 n보다 낮거나 같을 수 있으므로 모든 n에 대해 P(n)가 보유한다는 것을 의미하며, 이는 모든 자연 수 n에 대해 Q(n)가 false임을 의미합니다. 이것이 “강한 유도”라고 불리는 이유는 유도 가설에 더 많은 문을 사용하기 때문입니다.

지금까지 배운 내용을 좀 더 공식적으로 작성해 보겠습니다. 이 방법은 나무와 같은 보다 일반적인 잘 설립 된 구조에 대한 진술을 증명하기 위해 확장 될 수있다; 구조 유도로 알려진이 일반화는 수학적 논리 및 컴퓨터 과학에 사용됩니다. 이 확장된 의미에서의 수학적 유도는 재귀와 밀접한 관련이 있습니다. 어떤 형태로, 수학 유도, 컴퓨터 프로그램에 대한 모든 정확성 증명의 기초입니다. [3] 엄밀히 말하면, P가 모든 n < m의 사실이라면 P가 m의 사실이라는 명제의 공허한 특별한 경우이기 때문에 기본 케이스를 증명하기 위해 transfinite 유도에 필요하지 않습니다. n < m의 값이 없기 때문에 역예로 사용될 수 있습니다. 그래서 특별한 경우는 일반적인 경우의 특별한 경우입니다. 수학적 유도는 수학적 증명 기법입니다. 기본적으로 속성 P(n)가 모든 자연 수 n, 즉 n = 0, 1, 2, 3 등 모든 자연 수에 대해 보유한다는 것을 증명하는 데 사용됩니다. 은유는 도미노 가이나 사다리를 오르는 은유와 같은 수학적 유도의 개념을 이해하는 데 비공식적으로 사용될 수 있습니다: 따라서 이 예는 강한 유도의 힘을 보여주지 못합니다.